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0 前言
感谢 DataWhale 的开源学习课程 intro-mathmodel，项目仓库在这。
现在开始，跟着Task01 进入数据类的学习，实现每一个代码，包括数据预处理、回归分析与分类分析、假设检验、随机过程与随机模拟、数据可视化图表、三种插值模型。
本篇是知识的梳理和总结，用以更好地食用教材，亦或作为后期复盘的资料。
学习重点在于各种常见的统计分析模型的区别总结。
1 数据与大数据
Drew Conway在2010年阐释“数据科学”的时候称：
“数据科学是统计学、计算机科学和领域知识的交叉学科”
2 数据的预处理
2.1 为什么需要数据预处理
在采集完数据后，
我们得到的原始数据往往非常混乱、不全面，模型往往无法从中有效识别并提取信息，
于是建模的首要步骤以及主要步骤便是数据预处理。
现在，我们先学习一个概念——稀疏。
对数据有一定的理解后再正式进行数据预处理操作。
2.2 使用 pandas 处理数据
数据预处理重复数据：直接将其删除即可
缺失数据：主要是观察缺失率
- 缺失的数据项占比 较少（大概5%以内）：这个时候如果问题允许可以把行删掉
- 缺失率稍微高一点（5%-20%）左右：就可以使用填充、插值的方法去处理
- 缺失率还高一些（20%-40%）：就需要用预测方法例如机器学习去填充缺失数据了
- 如果一列数据有50%以上都是缺失的：可以把这一列都删掉（需要条件允许的情况下）
基础demopandas dataframe的基础语法- # （1）Python创建一个数据框DataFrame：
- import pandas as pd
- import numpy as np
- data = {'animal': ['cat', 'cat', 'snake', 'dog', 'dog', 'cat', 'snake', 'cat', 'dog', 'dog'],
- 'age': [2.5, 3, 0.5, np.nan, 5, 2, 4.5, np.nan, 7, 3],
- 'visits': [1, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 1],
- 'priority': ['yes', 'yes', 'no', 'yes', 'no', 'no', 'no', 'yes', 'no', 'no']}
-
- labels = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'j']
-
- df = pd.DataFrame(data)
- df
- #（2）显示该 DataFrame 及其数据相关的基本信息：
- df.describe()
- （3）返回DataFrame df 的前5列数据：
- df.head(5)
- #（4）从 DataFrame df 选择标签列为 animal 和 age 的列
- df[['animal', 'age']]
- #（5）在 [3, 4, 8] 行中，列为 ['animal', 'age'] 的数据
- df.loc[[3, 4, 8], ['animal', 'age']]
- #（6）选择列为visits中等于3的行 （: 在这里表示选取所有列。）
- df.loc[df['visits']==3, :]
- #（7）选择 age 为缺失值的行
- df.loc[df['age'].isna(), :]
- #（8）选择 animal 是cat且age 小于 3 的行
- df.loc[(df['animal'] == 'cat') & (df['age'] < 3), :]
- #（9）选择 age 在 2 到 4 之间的数据（包含边界值）
- df.loc[(df['age']>=2)&(df['age']<=4), :] # 不能写联不等式，得拆开写
- #（10）将 'f' 行的 age 改为 1.5
- df.index = labels # 若要对DataFrame行索引操作，需要自行创建行索引。（DataFrame默认是没有激活行索引功能）
- df.loc[['f'], ['age']] = 1.5
- print(df)
- #（11）对 visits 列的数据求和
- df['visits'].sum()
- #（12）计算每种 animal age 的平均值
- df.groupby(['animal'])['age'].mean()
现在，我们来仿真“每天的商店营业额”这个复合泊松过程吧。
首先，我们假设
每个小时进入商店的平均人数为：[10, 5, 3, 6, 8, 10, 20, 40, 100, 80, 40, 50, 100, 120, 30, 30, 60, 80, 100, 150, 70, 20, 20, 10]，
每位顾客的平均花费为：10元（大约一份早餐吧），
请问每天商店的营业额是多少？- #（1）创建pandas dataframe
- df = pd.DataFrame({'From_To': ['LoNDon_paris', 'MAdrid_miLAN', 'londON_StockhOlm',
- 'Budapest_PaRis', 'Brussels_londOn'],
- 'FlightNumber': [10045, np.nan, 10065, np.nan, 10085],
- 'RecentDelays': [[23, 47], [], [24, 43, 87], [13], [67, 32]],
- 'Airline': ['KLM(!)', '<Air France> (12)', '(British Airways. )',
- '12. Air France', '"Swiss Air"']})
- df
- #（2）FlightNumber列中有某些缺失值，缺失值常用nan表示，请在该列中添加10055与10075填充该缺失值。
- df['FlightNumber'] = df['FlightNumber'].interpolate().astype(int)
- df
- #（3）由于列From_To 代表从地点A到地点B，因此可以将这列拆分成两列，并赋予为列From与To。
- temp = df['From_To'].str.split("_", expand=True) # expand=True 参数被设置时，意味着可以将这列拆分成两列
- temp.columns = ['From', 'To']
- #（4）将列From和To转化成只有首字母大写的形式。
- temp['From'] = temp['From'].str.capitalize()
- temp['To'] = temp['To'].str.capitalize()
- #（5）将列From_To从df中去除，并把列From和To添加到df中
- df.drop('From_To', axis=1, inplace=True)
- df[['From', 'To']] = temp
- df
-
- #（6）清除列中的特殊字符，只留下航空公司的名字。
- # str.extract 是一个用于从字符串中抽取匹配正则表达式的部分的方法。
- # 这里的正则表达式 r'([a-zA-Z\s]+)' 匹配一个或多个字母 (a-z, A-Z) 或空白字符（\s）。+表示字母和空格的模式可以重复一次或多次。
- # expand=False 参数被设置时，意味着返回的将是 Series，
- # expand=True 参数为默认值，意味着返回的将是 DataFrame。
- df['Airline'] = df['Airline'].str.extract(r'([a-zA-Z\s]+)', expand=False).str.strip()
- df
-
- #（7）在 RecentDelays 列中，值已作为列表输入到 DataFrame 中。
- # 我们希望每个第一个值在它自己的列中，
- # 每个第二个值在它自己的列中，
- # 依此类推。如果没有第 N 个值，则该值应为 NaN。
- # 将 Series 列表展开成名为 delays 的 DataFrame，
- # 重命名列delay_1，delay_2等等，
- # 并将不需要的 RecentDelays 列替换df为delays。
- delays = df['RecentDelays'].apply(pd.Series)
- delays.columns = ['delay_%s' % i for i in range(1, len(delays.columns)+1)]
- df = df.drop('RecentDelays', axis=1).join(delays, how='left') # 左连接：确保其结果会包含左侧DataFrame（即df）的所有行
- df
- #（8）将delay_i列的控制nan都填为自身的平均值。
- for i in range(1, 4):
- df[f'delay_{i}'] = df[f'delay_{i}'].fillna(np.mean(df[f'delay_{i}'])) # f 是为了创建 格式化字符串字面量
- df
- #（9）在df中增加一行，值与FlightNumber=10085的行保持一致。
- df = df._append(df.loc[df['FlightNumber'] == 10085, :], ignore_index=True)
- df
- #（10）对df进行去重，由于df添加了一行的值与FlightNumber=10085的行一样的行，因此去重时需要去掉。
- df = df.drop_duplicates()
- df
艾滋病发展过程分为四个阶段（状态），
急性感染期（状态 1）、无症状期（状态 2）， 艾滋病前期（状态 3）, 典型艾滋病期（状态 4）。
艾滋病发展过程基本上是一个不可逆的过程,即：状态1 -> 状态2 -> 状态3 -> 状态4。现在收集某地600例艾滋病防控数据，得到以下表格
现在，我们希望计算若一个人此时是无症状期（状态2）在10次转移之后，这个人的各状态的概率是多少？- # 模拟仿真研究该道路口一天平均有多少车经过
- import numpy as np
- import simpy
- class Road_Crossing:
- def __init__(self, env):
- self.road_crossing_container = simpy.Container(env, capacity = 1e8, init = 0)
-
- def come_across(env, road_crossing, lmd):
- while True:
- body_time = np.random.exponential(1.0/(lmd/60)) # 经过指数分布的时间后，泊松过程记录数+1
- yield env.timeout(body_time) # 经过body_time个时间
- yield road_crossing.road_crossing_container.put(1)
- hours = 24 # 一天24h
- minutes = 60 # 一个小时60min
- days = 3 # 模拟3天
- lmd_ls = [30, 20, 10, 6, 8, 20, 40, 100, 250, 200, 100, 65, 100, 120, 100, 120, 200, 220, 240, 180, 150, 100, 50, 40] # 每隔小时平均通过车辆数
- car_sum = [] # 存储每一天的通过路口的车辆数之和
- print('仿真开始：')
- for day in range(days):
- day_car_sum = 0 # 记录每天的通过车辆数之和
- for hour, lmd in enumerate(lmd_ls):
- env = simpy.Environment()
- road_crossing = Road_Crossing(env)
- come_across_process = env.process(come_across(env, road_crossing, lmd))
- env.run(until = 60) # 每次仿真60min
- if hour % 4 == 0:
- print("第"+str(day+1)+"天，第"+str(hour+1)+"时的车辆数：", road_crossing.road_crossing_container.level)
- day_car_sum += road_crossing.road_crossing_container.level
- car_sum.append(day_car_sum)
- print("每天通过交通路口的的车辆数之和为：", car_sum)
4.1 Python 三大数据可视化工具库的简介
Matplotlib 的绘图逻辑是：一句话一个特征。
Seaborn 把数据拟合等统计属性高度集成在绘图函数中，绘图功能还是构筑在Matplotlib之上。
Plotnine 的绘图逻辑是：一句话一个图层。
4.2 基本图表 Quick Start
5 插值模型
5.1 线性插值法
$$
{L_1}(x) = {y_k} + \frac{{{y_{k + 1}} - {y_k}}}{{{x_{k + 1}} - {x_k}}}(x - {x_k}) \tag{5.1}
$$
5.2 三次样条插值
$$
{a_i}x_i^3 + {b_i}x_i^2 + {c_i}{x_i} + {d_i} = {a_{i + 1}}x_{i + 1}^3 + {b_{i + 1}}x_{i + 1}^2 + {c_{i + 1}}{x_{i + 1}} + {d_{i + 1}} \tag{5.2}
$$$$
3{a_i}x_i^2 + 2{b_i}{x_i} + {c_i} = 3{a_{i + 1}}x_{i + 1}^2 + 2{b_{i + 1}}{x_{i + 1}} + {c_{i + 1}} \tag{5.3}
$$$$
6{a_i}{x_i} + 2{b_i} = 6{a_{i + 1}}{x_{i + 1}} + 2{b_{i + 1}} \tag{5.4}
$$
5.3 拉格朗日插值
对于一组数据{y}和下标{x}，定义n个拉格朗日插值基函数：
$$
{l_k}(x) = \prod\limits_{i = 0,i \ne k}^n {\frac{{x - {x_i}}}{{{x_k} - {x_i}}}} \tag{5.5}
$$
这本质上是一个分式，当 x=xk 时 lk(x)=1，这一操作实现了离散数据的连续化。
按照对应下标的函数值加权求和可以得到整体的拉格朗日插值函数：
$$
L(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{y_k}{l_k}(x)} \tag{5.6}
$$
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来源:https://www.cnblogs.com/Sullivan-Hua/p/18321791
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