【scipy 基础】--积分和微分方程

王常胜

对于手工计算来说，积分计算是非常困难的，对于一些简单的函数，我们可以直接通过已知的积分公式来求解，但在更多的情况下，原函数并没有简单的表达式，因此确定积分的反函数变得非常困难。
另外，相对于微分运算来说，积分运算则具有更多的多样性，包括不同的积分方法（如换元积分法、分部积分法等）和积分技巧，需要根据具体的函数形式选择合适的方法，这增加了积分运算的复杂性。
而微分运算有一条基本的规则，即导数运算具有线性性质，可以通过求导法则来简化计算。
Scipy库的积分子模块为我们提供了便捷的积分和微分方程计算接口。
利用Scipy，进行数学或科学研究时，可以把更多的时间花在原理和推导上，计算过程交由Scipy去处理。
1. 主要功能

Scipy的积分模块主要用于进行数学方程的求解和过程控制。
该模块提供了一组函数，可以用于求解一元和多元函数的导数、积分、二阶导数和偏导数等。
此外，该模块还提供了一些用于过程控制和优化的函数。
此模块的函数主要分为以下几类：

• 针对函数对象的积分
  
• 针对固定样本的积分
  
• 常微分方程
  

总之，scipy.integrate模块提供了丰富的函数和算法，用于解决各种数学问题和过程控制问题。
下面通过一些示例来了解其使用方法。
2. 积分运算

2.1. 一重积分

比如计算曲线 \(y = e^{-x}\)在 \(-0.75 \leqslant x \leqslant 0.5\)范围内的面积。

也就是计算积分：\(\int_{-0.75}^{0.5}e^{-x}dx\)

1. from scipy.integrate import quad
2. y = lambda x: np.exp(-x)
3. integral, integral_err = quad(y, -0.75, 0.5)
5. print("面积为：{}".format(integral))
6. # 运行结果
7. 面积为：1.5104693569000414

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2.2. 二重积分

所谓二重积分，就是积分变量有两个，依次在两个变量上积分得出最终的结果。
比如，对于函数：\(z = x^2 + y^2\)，相当于如下的三维曲面。

计算上面的曲面在 \(-2 \leqslant x \leqslant 2\)且 \(-1 \leqslant y \leqslant 1\)情况下，与XY平面所包围的体积。
即：\(\int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx\)

1. from scipy.integrate import dblquad
3. integrand = lambda y, x: x**2 + y**2
4. integral, integral_error = dblquad(integrand, -2, 2, -1, 1)
6. print("体积为：{}".format(integral))
7. # 运行结果
8. 体积为：13.333333333333334

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这个示例中的曲面在X平面和Y平面上是对称的，计算二重积分时，先积分x，还是先积分y，结果是一样的。
也就是：\(\int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx = \int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dxdy\)
其他的曲面不一定是对称的，所以二重积分时一定要注意积分的顺序。
3. 常微分方程求解

常微分方程是一类以未知函数和其导数为主要研究对象的数学方程，适合描述不断变化的场景。
3.1. 一元常微分方程

比如计算物体速度的时候，如果加速度恒定，根据牛顿运动定律，很容易就能计算出速度和时间的关系。
但是若加速度也会不断变化的话，如何确定速度和时间的关系呢？
比如假设加速度随速度和时间变化的关系是： \(a = v+3t\)
因为加速度也可以表示为：\(a = \frac{dv}{dt}\)，也就是速度对时间的微分，即：\(a = v'\)。
这样，就得到：\(a = \frac{dv}{dt} = v' = v+3t\)，其中，\(v' = v+3t\)就是一个常微分方程。
假设时间t为0时，速度v也为0，则得到：\(v'-v-3t=0, v(0)=0\)
下面利用Scipy来求解这个一元常微分方程。

1. from scipy.integrate import odeint
3. # v是速度，t是时间
4. def dvdt(v, t):
5.     return v + 3*t
7. v0 = 0
8. t = np.linspace(0, 1, 100)
10. # 结果res是 N行1列的二维数组（因为是一元方程）
11. res = odeint(dvdt, v0, t)
13. # 转置之后第一行就是各个时间点的速度
14. res_v = res.T[0]
16. # 绘制速度和时间的关系
17. plt.plot(t, res_v)
18. plt.show()

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图中曲线的斜率就是加速度，可以看出加速度是随时间不断变大的。
3.2. 二元常微分方程组

对于二元常微分方程组，同样也可以用 scipy 来求解。
比如如下方程组：
\(\begin{align*}& y_1' = y_1 + y_2^2 - 5x \quad & y_1(0)=0\\& y_2' = 2y_1 + y_2^3 + sin(x) \quad & y_2(0)=0\end{align*}\)
求解方法：

1. from scipy.integrate import odeint
3. # 创建方程组
4. def dSdx(S, x):
5.     y1, y2 = S
6.     return [
7.         y1 + y2**2 - 5 * x,
8.         2 * y1 + y2**3 + np.sin(x),
9.     ]
11. # 方程组初始值
12. y1_0 = 0
13. y2_0 = 0
14. S_0 = (y1_0, y2_0)
16. x = np.linspace(0, 1, 100)
17. sol = odeint(dSdx, S_0, x)
19. y1_sol = sol.T[0]
20. y2_sol = sol.T[1]
22. # 分别绘制y1,y2和x的关系
23. plt.plot(x, y1_sol, label="y1")
24. plt.plot(x, y2_sol, label="y2")
25. plt.legend()
26. plt.show()

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4. 总结

积分和常微分方程算是应用非常广，但手工计算非常麻烦的两种数学工具，
在学校学习高等数学的时候应该没少吃过这两种计算的苦。
有了Scipy的帮助，则可以摆脱这类复杂计算带来的痛苦，让我们可以专注于创建解决问题的方程。

来源:https://www.cnblogs.com/wang_yb/p/17810226.html
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