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稀疏矩阵是一种特殊的矩阵，其非零元素数目远远少于零元素数目，并且非零元素分布没有规律。
这种矩阵在实际应用中经常出现，例如在物理学、图形学和网络通信等领域。
稀疏矩阵其实也可以和一般的矩阵一样处理，之所以要把它区分开来进行特殊处理，是因为：
一方面稀疏矩阵的存储空间开销通常比稠密矩阵要小得多，可以节省存储空间；
另一方面，在计算稀疏矩阵时，可以利用其特殊的结构，采用专门的算法，提高计算效率和准确性。
因此，稀疏矩阵在Scipy库中被单独作为一个模块，以便被更好地处理和应用。
1. 主要功能
稀疏矩阵子模块（scipy.sparse）的主要功能包括：
类别说明稀疏数组类支持各种格式的稀疏数组稀疏矩阵类支持各种格式的稀疏矩阵稀疏矩阵工具构建，保存，加载以及识别稀疏矩阵的各种函数其他包含压缩稀疏图例程，稀疏线性代数等子模块，以及一些异常处理方法这里有个需要注意的地方是稀疏数组和稀疏矩阵的区别。
这两个类别中的很多函数名称也类似，比如：bsr_array和bsr_matrix，coo_array和coo_matrix等等。
只要区别在于：
***_matrix类的函数是一种基于Compressed Sparse Row（CSR）和Compressed Sparse Column（CSC）格式的块稀疏矩阵表示方法。
它使用一个字典来存储非零元素，其中每个元素对应于一个包含三个值的元组，分别表示该元素的行索引、列索引和非零元素的值。
这种数据结构可以提供更好的计算性能和内存使用效率，特别适合于大规模的块稀疏矩阵计算。
而***_array 类的函数虽然类似于***_matrix的数据结构，但它允许更大的灵活性。
***_array 可以表示任意的稀疏数组，而不仅仅是块稀疏矩阵。
它使用一个具有三个数组的元组来表示稀疏数组，其中第一个数组存储行索引，第二个数组存储列索引，第三个数组存储非零元素的值。
这种数据结构适用于更通用的稀疏数组计算，但可能不如***_matrix高效。
总之，***_matrix和***_array都是用于表示块稀疏矩阵或稀疏数组的数据结构。
***_matrix更适合于大规模的块稀疏矩阵计算，而***_array适用于更通用的稀疏数组计算。
2. 使用示例
稀疏矩阵之所以成为单独的一个模块，是因为它的稀疏的特性在很多领域多有广泛的应用。
scipy.sparse子模块中提供了大概7种：
- csc_matrix: 压缩稀疏列格式（Compressed Sparse Column）
- csr_matrix: 压缩稀疏行格式（Compressed Sparse Row）
- bsr_matrix: 块稀疏行格式（Block Sparse Row）
- lil_matrix: 列表格式的列表（List of Lists format）
- dok_matrix: 键格式字典（Dictionary of Keys）
- coo_matrix: 坐标格式（又名 IJV，三元组格式）
- dia_matrix: 对角线格式（DIAgonal format）
2.1. 使用稀疏矩阵
稀疏矩阵其实在运算上和使用普通矩阵一样。
首先，构造一个创建矩阵的方法create_matrix，这个方法会生成一个10x10的矩阵，
方法的参数N表示随机在矩阵的N个位置中生成值。- from scipy import sparse
- import numpy as np
- # 创建一个10x10矩阵，其中有值的元素不超过N个
- def create_matrix(N):
- data = np.zeros((10, 10))
- for _ in range(N):
- row = np.random.randint(0, 10, 1)
- col = np.random.randint(0, 10, 1)
- data[row, col] = np.random.randint(1, 100, 1)
- return data
- # 创建两个普通矩阵
- m1 = create_matrix(8)
- m2 = create_matrix(6)
- # 计算点积
- m1.dot(m2) # 返回m1和m2的点积结果
- # 将普通矩阵变为稀疏矩阵
- #（这里的演示用了7种类型中的一种bsr）
- d1 = sparse.bsr_matrix(m1)
- d2 = sparse.bsr_matrix(m2)
- # 计算点积后，用toarray方法转换为二维数组
- d1.dot(d2).toarray()
2.2. 稀疏矩阵的性能
我们使用稀疏矩阵，就是因为其运算性能比使用一般矩阵强，否则还不如直接用一般矩阵。
下面，简单测试下scipy.sparse模块下稀疏矩阵的性能。
先看其内存占用是否有减少，为了让性能差别能显著看出，
先扩大测试矩阵为 1000x1000。- import sys
- def create_matrix(N):
- data = np.zeros((1000, 1000))
- for _ in range(N):
- row = np.random.randint(0, 1000, 1)
- col = np.random.randint(0, 1000, 1)
- data[row, col] = np.random.randint(1, 100, 1)
- return data
- m1 = create_matrix(8)
- m2 = create_matrix(6)
- d1 = sparse.csr_matrix(m1)
- d2 = sparse.csr_matrix(m2)
- print("一般矩阵 m1 占用的空间：{}".format(sys.getsizeof(m1)))
- print("一般矩阵 m2 占用的空间：{}".format(sys.getsizeof(m2)))
- print("一般矩阵 d1 占用的空间：{}".format(sys.getsizeof(d1)))
- print("一般矩阵 d2 占用的空间：{}".format(sys.getsizeof(d2)))
- # 运行结果：
- 一般矩阵 m1 占用的空间：8000128
- 一般矩阵 m2 占用的空间：8000128
- 一般矩阵 d1 占用的空间：56
- 一般矩阵 d2 占用的空间：56
再看点积的运算性能：（运行10轮，每轮100次）- %%timeit -r 10 -n 100
- m1.dot(m2)
- # 运行结果：
- 10.6 ms ± 136 µs per loop (mean ± std. dev. of 10 runs, 100 loops each)
- %%timeit -r 10 -n 100
- d1.dot(d2)
- # 运行结果：
- 137 µs ± 14.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 10 runs, 100 loops each)
3. 总结
稀疏矩阵在矩阵中只是一种特殊的矩阵，然而在实际应用领域中，却应用极广，比如：
在数值计算中，可以用于解决大规模线性代数方程组、大规模非线性方程组和非线性优化问题，以及求解大规模约束规划问题。
在模式识别中，如人脸识别、手写数字识别、文本分类等任务，可用于表示高维数据，提取特征并进行降维，提高识别准确率和计算效率。
在推荐系统中，处理大量用户和物品的数据时，稀疏矩阵可以有效地表示这些数据。
在社交网络中，因为一般社交关系都是稀疏的，所以可用于分析社交网络的结构和行为，例如社区检测、影响力传播。
此外，还可以用在计算机视觉，自然语言处理，生物信息学等等领域。
所以，研究稀疏矩阵有其重要的实际意义。
来源:https://www.cnblogs.com/wang_yb/p/17850740.html
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